こんにちは、エンジニアのさもです
以前、「多次元配列のドット積の次元について」というタイトルで記事を書きました。
numpyのdot関数についての考察でしたが、今回はもう少し詳しく調べてみました。
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dot関数については、こちらのサイトに詳細が書いてあります
numpy.dot — NumPy v1.13 Manual
dot関数は1次元配列のときは、通常のベクトルの内積、2次元配列のときは、行列の積と同じように計算されます。
N次元の場合は以下のようなルールで計算されます。
dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])
具体的には、例えば、
import numpy as np a = np.ones([2,3,4]) b = np.ones([5,4,2])
であったとします。
このとき、np.dot(a,b)は(2, 3, 5, 2)という形の多次元配列になります。
aからは一番最後の軸以外の数、bからは一番最後から2番目の軸以外の数をとってきて結合させると、出力のサイズになりますね。
さて、計算ルールに当てはめると、
np.dot(a,b)[1,0,3,1] = sum(a[1,0,:]*b[3,:,1])
ということになります。
右辺のそれぞれは、どちらも同じサイズの１次配列です。
a[1,0,:] #=>array([ 1., 1., 1., 1.]) b[3,:,1] #=>array([ 1., 1., 1., 1.])
なので、N次元の配列をドット積する場合は、aの一番最後の軸のサイズと、bの最後から２番目の軸のサイズが同じでないといけません。
配列がより深い次元になっても同様です。
たとえば、aが(2,3,4,5), bが(3,4,5,6)の場合は、
a = np.arange(2*3*4*5).reshape((2,3,4,5)) b = np.arange(3*4*5*6).reshape((3,4,5,6)) np.dot(a,b).shape #=> (2, 3, 4, 3, 4, 6) np.dot(a,b)[0,0,0,1,1,1] #=> 1690 sum(a[0,0,0,:]*b[1,1,:,1]) #=> 1690
となります。
ちなみに、行列の積は、最初の計算ルールからj,kを除いた式
dot(a, b)[i,m] = sum(a[i,:] * b[:,m])
と同じになっていて、ベクトルの内積は、さらにi,mを除いた式
dot(a, b) = sum(a[:] * b[:])
と同じになっています。
