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モンティホール問題について一番しっくりくる解説を考えてみた

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こんにちは、エンジニアのさもです。

みなさんはモンティホール問題をご存知でしょうか。

「プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。 ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?」 モンティ・ホール問題 - Wikipedia

登場人物は二人。あなたと、正解を知っている司会者。

やることは、

  1. あなたが三つあるドアのうち一つ選ぶ
  2. 司会者は、あなたが選ばなかったドアのうち、はずれの方を開けてみせる
  3. あなたはドアを変えるか変えないか選ぶ

直感的には、「はずれのドアが分かった時点で、どちらかがあたりで、もう一方がはずれなのだから、変えても変えなくても同じ」のように思いますよね。

ですが、実際は変えた方が有利というのがモンティホール問題の答えです。

本記事では、なぜ変えた方が有利なのか、なぜ直感とのギャップが生まれるのか解説をしてみたいと思います。

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なぜ変えた方が有利なのか

  • 最初にあたりを選んでいた場合

まず、最初にあたりを選んだ場合を考えます。

最初にあたりを選ぶと、残りの二つは両方はずれです。なので、どちらを司会者が選んでも、変えてしまうとはずれになります。

あたりを選んだときは、変えない方がいいです。

  • 最初にはずれを選んでいた場合

次に、最初にはずれを選んだ場合です。

最初にはずれを選んだときは、他の二つのどちらかがはずれで、もう一方があたりです。

このとき、司会者がはずれの方を教えてくれるので、変えると必ずあたります。

上記の二つをまとめるとこんな感じです。

変える変えない
最初あたりを選んでいる×
最初はずれを選んでいる×
○があたり、×がはずれ
表1.あたり・はずれで場合分け

では、変えるを選んだときのあたる確率を求めてみましょう。

え、どう見ても50%だけど?

いえいえ、最初にあたりを選ぶ確率、最初にはずれを選ぶ確率を考慮しなくてはいけません。

最初あたりを選ぶ確率は、3つのドアのうち、1つしかあたりはないので、 \frac{1}{3}になります。

一方、最初はずれを選ぶ確率は、3つのドアのうち、2つあるので、 \frac{2}{3}になります。

なので、「変えてあたる確率」は、最初はずれを選んでいたときなので、 \frac{2}{3}になります。

では、変えない場合で当たる確率はどうでしょう。

同じように考えると、「変えないであたる確率」は、最初あたりを選んでいたときなので、 \frac{1}{3}となります。

結果的に変えた方が当たる確率が高くなりましたね。これが変えた方が有利だと言える説明です。

「変えた方が有利なのか不利なのか同じなのか」を考えるときに大切なのは、「変えた方が有利になる確率」を考えることです。

この確率が高ければ、有利だし、低ければ不利、50%なら同じになります。

そして「変えた方が有利になる確率」は、変えるか変えないかを選ぶときではなくて、一番初めにドアを選ぶときから決まっています。

選ぶドアあたり・はずれ変える変えない
A×
B××
C××
表2.選ぶドアで場合分け

なぜ直感に反するのか

確率の計算方法が分かっても、プレイヤーの立場になって、変えますか?変えませんか?と言われたとき、

直感的に「どちらかがあたりで、もう一方がはずれだから、どっちを選んでも一緒」ってなりますよね。

本当は、「変える:  \frac{2}{3}, 変えない:  \frac{1}{3} 」なのに、「変える: \frac{1}{2}, 変えない: \frac{1}{2} 」と思ってしまうんですよね。

おそらく、一番の原因は、「最初にドアを選んだことを忘れている」ことだと思います。

確かに、ドアを選んだことを一旦忘れて、目の前にドアが二つ用意されて、どちらかが当たりで、もう一方がはずれです。といわれたら確率は半々のように思うでしょう。

では、忘れないでゲームをしてみましょう。

「変えますか、変えませんか」と言われたときに、「そういえば、ドアは3つあって、そのうち1つがあたり。その中から1つ選んだのだった。」と思い出します。

そのとき、「最初にはずれを選ぶ確率は \frac{2}{3}なんだから、今選んでいるのは、どうせはずれのドアなんだろうな~」と思います。

そうしてから、「変えるとどうなるか」を考えてみてください。

「あ、変えるとあたりなんだから、変えた方がいいわ!」となりますよね。

変える・変えないを選ぶときに、「( \frac{2}{3}の確率で)今自分が選んでいるのははずれだ」というのを思い出すことが大切です。

こんな感じで考えると「変える:  \frac{2}{3}, 変えない:  \frac{1}{3} 」と思えるのではないでしょうか。

モンティホール問題を応用してみる(ネタ)

あなたは3車線の高速道路を走っています。

神戸方面に行きたいのですが、どの車線を走っていればいいか分かりません。

あるとき自分が走っている車線とは別の車線に「大阪行き」と書いてありました。

もうすぐ大きな分岐があります。

車線を「大阪行き」とは別の車線に変更してください。

 \frac{2}{3}の確率で神戸に行けるはずです。

もし和歌山についてしまった場合は、最初に走っていた車線が神戸行きだったということです。

最後に

最後までお読みいただきありがとうございました。

この説明でもやっぱりよく分からんという方はコメントに残しておいてください。もっと分かりやすい説明を考えてみます。

理解できた!という方は、読者登録をしていただけると、ブログを続ける励みになりますので、よろしくお願いします。